สูตรการหาพื้นที่

·       สูตรมาตรฐานการหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม

              ความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม = ผลบวกของด้านทุกด้าน

              สามเหลี่ยม = เศษหนึ่งส่วนสอง × สูง × ฐาน

·       สูตรต่างๆของรูปสี่เหลี่ยม

            ความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมใดใด = ผลบวกของด้านทุกด้าน

            สี่เหลี่ยมผืนผ้า =  กว้าง × ยาว

            สี่เหลี่ยมจัตุรัส = ด้าน × ด้าน

            สี่เหลี่ยมด้านขนาน = ฐาน × สูง

            สี่เหลี่ยมคางหมู = เศษหนึ่งส่วนสอง × ผลบวกด้านคู่ขนาน × สูง

            สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน = เศษหนึ่งส่วนสอง × ผลคูณของเส้นทแยงมุม

            สี่เหลี่ยมใดใด = เศษหนึ่งส่วนสอง× เส้นทแยงมุม × ผลบวกของเส้นกิ่ง

             สี่เหลี่ยมรูปว่าว = เศษหนึ่งส่วนสอง × ผลคูณของเส้นทแยงมุม

·       สูตรมาตรฐานของวงกลม

ความยาวรอบรูปของรูปวงกลม = 2πr

       วงกลม =  r กำลัง 2 [พาย = 22 ส่วน 7   R=รัศมี ]

ที่มา : http://mathsource.fix.gs/index.php?topic=85.0

อนุกรมเลขคณิต

              อนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย

            เมื่อ      a1,  a1 + d,   a1 + 2d,   …,    a1 + (n – 1)d      เป็นลำดับเลขคณิต

 จะได้   a1  +   (a1 + d)  +  (a1 + 2d)   +  …  +   (a1 + (n – 1)d)   เป็นอนุกรมเลขคณิต

ซึ่งมี   a1  เป็นพจน์แรกของอนุกรม และ  d  เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิต

         จากบทนิยาม  จะได้ว่า ถ้า  a1,   a2,   a3,   …,   an   เป็น ลำดับเลขคณิต ที่มี n  พจน์

จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป

a1  +  a2  +  a3 +  …  +  an        ว่า  อนุกรมเลขคณิต

และผลต่างร่วม ( d ) ของลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย

                                                                   ที่มา : http://www.snr.ac.th                 

การหาพื้นที่ของวงกลม

                 การหาพื้นที่ของวงกลมรูปนี้ นักเรียนต้องเริ่มโดยใช้สูตรการหาพื้นที่ของวงกลม ซึ่งก็คือ พื้นที่ของวงกลม เท่ากับ ค่าพายคูณ ความยาวของเส้นรัศมียกกำลังสอง หรือ A=πr^2 สังเกตนะคะว่าโจทย์ให้ความยาวของเส้นผ่าศูนย์กลางมา แทนที่จะเป็นความยาวเส้นรัศมี เส้นรัศมีนั้นจะมีความยาวเป็นครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวง ดังนั้นเส้นรัศมีของวงกลมนี้จึงมีความยาวครึ่งหนึ่งของ 10.6 เมตร หรือ 5.3 เมตรนั่นเอง

ดังนั้นเมื่อเราแทนค่าเข้าไปในสูตร จึงได้เป็น (π) 〖(5.3m)〗^2 ข้อผิดพลาดที่มักเกิดขึ้นบ่อยคือนำ 10.6 เข้าไปแทนในสูตรทันที แต่จำไว้นะคะว่าเราต้องใช้ความยาวเส้นรัศมีแทนเข้าไป ไม่ใช่เส้นผ่าศูนย์กลาง

มาลองคิดกันนะคะ 〖(5.3m)〗^2 นี่ก็เท่ากับ (5.3)(5.3) หรือเท่ากับ 28.09 ดังนั้นเราจึงรู้ว่าพื้นที่ของวงกลมนี้เท่ากับ 28.09π ตารางเมตร คราวนี้ นักเรียนก็คงรู้นะคะว่า ค่าพายเท่ากับ 22/7 หรือ 3.14 เราจึงสามารถหาพื้นที่ของวงกลมรูปนี้ได้โดยนำ 3.14 แทนค่าเข้าไปในสูตร จึงได้เท่ากับ (28.09)(3.14)=88.2026

ดังนั้น พื้นที่ของวงกลมรูปนี้จึงได้เท่ากับ 88.2026 ตารางเมตรโดยประมาณ

                                        ที่มา : http://www.trueplookpanya.com

สถิติเบื้องต้น

สถิติเบื้องต้น   ข้อมูลสถิติหรือข้อมูล  หมายถึง  ข้อเท็จจริงของเรื่องใดเรื่องหนึ่งที่เราสนใจจะศึกษา  ซึ่งอาจจะเป็นตัวเลขหรือข้อความก็ได้

- จำนวนคนที่เป็นโรคหัวใจในแต่ละเดือน

- ปริมาณการส่งออกข้าวของประเทศไทยในปีนี้เพิ่มขึ้นจากปีที่แล้ว 

การจำแนกข้อมูล

 1.)  ข้อมูลที่จำแนกตามลักษณะของข้อมูล  แบ่งเป็น  2  ประเภท

1.1  ข้อมูลเชิงปริมาณ  คือข้อมูลที่ใช้แทนขนาดหรือปริมาณวัดออกมาเป็นค่าตัวเลขที่สามารถนำมาใช้เปรียบเทียบขนาดได้โดยตรง

1.2  ข้อมูลเชิงคุณภาพ  คือข้อมูลที่ไม่สามารถวัดออกมาเป็นค่าตัวเลขโดยตรงได้  แต่วัดออกมาในเชิงคุณภาพได้  เช่น เพศของสมาชิกในครอบครัว  ซึ่งการวิเคราะห์ข้อมูลประเภทนี้  ส่วนใหญ่ทำโดยการนับจำนวนจำแนกตามลักษณะเชิงคุณภาพ

2.)  ข้อมูลจำแนกตามวิธีการเก็บรวบรวม

2.1  ข้อมูลปฐมภูมิ  คือ  ข้อมูลที่ได้จากการรวบรวมจากผู้ที่ให้ข้อมูลหรือแหล่งที่มาโดยตรง

2.1.1  การสำมะโน  คือ  การเก็บรวบรวมข้อมูลจากทุกหน่วยของประชากรที่ต้องการศึกษา

2.1.2  การสำรวจจากกลุ่มตัวอย่าง  คือ  การเก็บรวบรวมข้อมูลที่ประกอบด้วยตัวแทนจากทุกลักษณะของประชากรที่ต้องการศึกษาในทางปฏิบัติ  ไม่ว่าจะทำการสำมะโนหรือการสำรวจ  นิยมปฏิบัติอยู่  5  วิธี  คือ

         1.  การสัมภาษณ์  นิยมใช้กันมาก  เพราะจะได้คำตอบทันที  นอกจากนี้หากผู้ตอบไม่เข้าใจก็สามารถอธิบายเพิ่มเติมได้  แต่ผู้สัมภาษณ์ต้องซื่อสัตย์  และเข้าใจจุดมุ่งหมายของการเก็บข้อมูลอย่างแท้จริง

         2.  การแจกแบบสอบถาม  วิธีนี้ประหยัดเวลาและค่าใช้จ่ายมาก  สะดวกและสบายใจต่อการตอบแบบสอบถาม  แต่ก็มีข้อเสียหลายประการ  เช่น  ต้องใช้ในเฉพาะผที่มีการศึกษา  มีไปรษณีย์ไปถึง  คำถามต้องชัดเจน  อาจจะไม่ได้รับคืนตามเวลาหรือจำนวนที่ต้องการ  จึงต้องส่งแบบสอบถามออกไปเป็นจำนวนมากๆ  หรือไปแจกและเก็บด้วยตนเอง

          3. การสอบถามทางโทรศัพท์  เป็นวิธีที่ง่าย  เสียค่าใช้จ่ายน้อย  ต้องเป็นการสัมภาษณ์อย่างสั้นๆ  ตอบได้ทันทีโดยไม่ต้องเสียเวลาค้นหาหลักฐาน  ใช้ได้เฉพาะส่วนที่มีโทรศัพท์เท่านั้น

          4.  การสังเกต  เป็นข้อมูลที่ได้จากการสังเกตแล้วบันทึกสิ่งที่เราสนใจเอาไว้  ต้องใช้การสังเกตเป็นช่วงๆของเวลาอย่างต่อเนื่องกัน  ข้อมูลจะน่าเชื่อถือได้มากน้อยขึ้นอยู่กับความเข้าใจและความชำนาญของผู้สังเกต  เช่น  ข้อมูลเกี่ยวกับการใช้บริการต่างๆ  เช่น  บริการรถโดยสาร  การบริการสหกรณ์  ความหนาแน่นของการใช้ถนนสายต่างๆ  เป็นต้น  วิธีนี้นิยมใช้ประกอบกับการเก็บข้อมูลวิธีอื่นๆ

         5.  การทดลอง  เป็นการเก็บรวบรวมข้อมูลที่มีการทดลอง  ซึ่งมักจะใช้เวลาในการทดลองนานๆ  ทำซ้ำๆ

2.2  ข้อมูลทุติยภูมิ  คือ  ข้อมูลที่ต้องเก็บรวบรวมจากผู้ที่ให้ข้อมูล  หรคือแหล่งที่มาโดยตรง  แต่ได้จากข้อมูลที่มีผู้อื่นเก็บรวบรวมไว้แล้ว

3.)  วิธีการเก็บรวบรวมข้อมูลทุติยภูมิ แหล่งที่มาของข้อมูลทุติยภูมิที่สำคัญมีอยู่  2  แหล่ง  คือ

     1.  รายงานต่างๆของหน่วยราชการและองค์การของรัฐบาล เช่น  ทะเบียนประวัติบุคลากร  ประวัติคนไข้  ทะเบียนนักเรียนนักศึกษา  เป็นต้น

     2.  รายงานและบทความจากหนังสือ  หรือรายงานจากหน่วยงานเอกชน  ซึ่งจะมีการพิมพ์เผยแพร่เฉพาะในส่วนของข้อมูลที่เผยแพร่ได้ในรูปของรายงานต่างๆ

 ที่มา:http://301math.exteen.com/20080112/entry-1

ระบบจำนวนเต็ม

จำนวนเต็มแบ่งออกเป็น 3 ชนิด

จำนวนเต็มลบ คือ จำนวนที่มีค่าน้อยกว่า ศูนย์ มีตำแหน่งอยู่ทางด้านซ้ายมือของศูนย์เมื่ออยู่บนเส้นจำนวน และ จะมีค่าลดลงเรื่อย ๆ โดยไม่สามารถจะบอกได้ว่าจำนวนใดจะมีค่าน้อยที่สุด แต่เราสามารถรู้ได้ว่าจำนวนเต็มลบที่มีค่ามากที่สุด คือ -1 เราพอจะสรุปลักษณะที่สำคัญของจำนวนเต็มลบได้ดังนี้

1. จำนวนเต็มลบเป็นจำนวนที่มีค่าน้อยกว่าศูนย์ หรือถ้ามองบนเส้นจำนวน ก็คือ เป็นจำนวนที่อยู่ทางซ้ายมือของศูนย์

2. จำนวนเต็มลบที่มีน้อยที่สุดไม่สามารถหาได้ แต่ จำนวนเต็มลบที่มีค่ามากที่สุด คือ -1

3. ตัวเลขที่ตามหลังเครื่องหมายลบ ถ้ายิ่งมีค่ามากขึ้นจำนวนเต็มลบนั้นจะมีค่าน้อยลง

กล่าวคือ ...-5 < -4 < -3 < -2 < -1

ศูนย์ ( ใช้สัญลักษณ์ "0" ) เป็นจำนวนเต็มอีกชนิดหนึ่ง ที่เราไม่ถือว่าเป็นจำนวนนับ จากหลักฐานที่ค้นพบทำให้เราทราบว่ามนุษย์รู้จักใช้สัญลักษณ์ "0" ในราวปี ค.ศ. 800 โดยที่ "0" แทนปริมาณของการไม่มีของหรือของที่ต้องการกล่าวถึง แต่ก็ไม่ใช่ว่า 0 จะไม่มีความหมายถึงการไม่มีเสมอไป ตัวอย่างเช่น ระดับผลการเรียนทางด้านความรู้ โดยนักเรียนที่มีระดับผลการเรียนเป็น 0 ไม่ได้หมายความว่านักเรียนคนนั้นไม่มีความรู้ เพียงแต่ ว่ามีความรู้ในระดับหนึ่งเท่านั้น

จำนวนเต็มบวก หรือ จำนวนนับ คือ จำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 0 ไปเรื่อย ๆ โดยที่ไม่สามารถระบุได้ว่าจำนวนนับตัวสุดท้ายเป็นอะไร จำนวนนับเริ่มต้นที่ 1 , 2 , 3, ... ซึ่งเราทราบแล้วว่า จำนวนนับที่น้อยที่สุด คือ 1 จำนวนนับที่มากที่สุดหาไม่ได้ คุณสมบัติของศูนย์และหนึ่ง

ที่มา : http://eduvc.oas.psu.ac.th/~user192/content1.html

สมบัติของจำนวนจริง

     กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ    
      1. สมบัติการสะท้อน a = a
     2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a
     3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c     
    4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน  ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c    
    5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc

สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง     
    กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ    
     1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง
     2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c
    3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c
    4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0  นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก

   5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a  นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก

 สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง
    กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ
   1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง 
   2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba
   3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c
   4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1 นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ

   5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0  นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี  a-1 เป็นอินเวอร์ส
การคูณกเว้น 0 
  6. สมบัติการแจกแจง

 ตัวอย่าง

                    a( b + c ) = ab + ac

                   ( b + c )a = ba + ca
 

สร้างโดย: นางสาวสูชิตา และครูศรนรินทร์

ที่มา http://www.thaigoodview.com/node/51246

เคล็ดลับวิธีเรียนคณิตศาสตร์ให้เก่ง

เคล็ดลับวิธีเรียนคณิตศาสตร์ให้เก่ง  

 เป็นที่สงสัยกันว่าเด็กที่เก่งวิชาคณิตศาสตร์ ส่วนมากได้จากพรสวรรค์ที่ติดตัวมาแต่เกิด หรือพรแสวงที่ขยันทุ่มเท คำตอบคือ จำเป็นทั้งสองอย่าง ถึงแม้ว่าเด็กที่มีพรสวรรค์ ก็ไม่สามารถเรียนคณิตศาสตร์เก่งได้หากขาดพรแสวง เพราะคณิตศาสตร์เป็นวิชาที่ต้องอาศัยชั่วโมงบิน ผ่านการทำโจทย์คณิตศาสตร์มาอย่างโชกโชนถึงจะเรียนเก่งได้ ในทางกลับกัน หากเด็กที่ขยันทุ่มเท แต่ขาดทักษะในการคิดวิเคราะห์ จับสูตรนู้นมาใส่สูตรนี้ ถึงแม้ว่าจะทำโจทย์พื้นฐานได้ แต่ถ้าเจอโจทย์พลิกแพลงก็ไปไม่รอดเหมือนกัน ในวันนี้มีเคล็ดลับวิธีเรียนคณิตศาสตร์ให้เก่ง มาดูกัน

เคล็ดลับเก่งคณิตศาสตร์
1. ไม่มองข้ามนิยามต่างๆ
               ถึงแม้ว่าจะอ่านนิยามต่างๆเป็นสิบรอบแล้วก็ยังงงเหมือนเดิม ก็ต้องทำความเข้าใจกับมันอยู่ดี เพราะมันเป็นพื้นฐานที่สำคัญของคณิตศาสตร์ สูตรทุกสูตรไม่ว่าจะเป็นสูตรมาตรฐานหรือสูตรลัด ต่างคิดขึ้นมาจากนิยามทั้งนั้น หากรู้นิยามแล้ว หากไม่มีสูตรก็สามารถแก้โจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ หรือแม้กระทั่งคิดสูตรลัดส่วนตัวขึ้นมาเอง ก็ย่อมได้

2. เข้าใจทฤษฎีบท สูตร หรือสมบัติต่างๆ และพลิกแพลงใช้ให้เป็น
               ทฤษฎีบท สูตร หรือสมบัติต่างๆ นั้นคือสิ่งเดียวกัน ซึ่งหมายถึงข้อเท็จจริงที่ต้องมีการพิสูจน์และยอมรับว่าเป็นจริง จึงจะนำมาใช้ได้ ซึ่งต่างจากบทนิยามเพราะบทนิยามเป็นสิ่งที่กำหนดขึ้นมาให้ยอมรับร่วมกันโดย ไม่ต้องพิสูจน์
                หลายคนเรียนคณิตศาสตร์ไม่เข้าใจเพราะเป็นกังวลกับการท่องจำสูตร ซึ่งแท้จริงแล้วการจำสูตรหรือทฤษฎีได้หรือไม่นั้นเป็นเรื่องรอง แต่เรื่องหลักที่ต้องให้ความสำคัญก่อนจะเริ่มจำสูตรคือ จะต้องเข้าใจว่า ทฤษฎีบทนี้ใช้เมื่อใด? และใช้อย่างไร?

3. ท่องจำบ้างในบางโอกาส แต่เอาเฉพาะที่จำเป็น
               อย่างน้อยๆก็ต้องจำนิยามหรือสูตรเบื้องต้นต่างๆ โดยควรจำอย่างมีเทคนิคและเป็นระบบ อย่าจำวิธีแก้สมการ เพราะถ้าเจอโจทย์ที่ถามอย่างอื่นมาแล้วจะถึงขั้นไปไม่เป็นเลยทีเดียว


4. ฝึกทำโจทย์บ่อยๆ
               การฝึกทำโจทย์บ่อยๆนั้นใช้ได้ในชีวิตจริงและในวิชาเรียนทุกๆวิชา โดยเฉพาะวิชาทางด้านคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ ถ้าหมั่นฝึกฝนบ่อยๆ จะช่วยให้จำน้อยลง เพราะเทคนิคหรือนิยามต่างๆจะถูกฝังเข้าไปในหัวเราแบบอัตโนมัติ แบบที่ไม่ต้องท่องก็จำได้ แล้วการแก้ปัญหาโจทย์มากๆ ยังช่วยให้ความสามารถในการแก้ปัญหาของเราสูงขึ้นด้วย ไม่ใช่แค่ในเรื่องการเรียน แต่รวมถึงเรื่องทั่วๆไปในชีวิต ที่เราสามารถแก้ปัญหาได้ดีขึ้นด้วย

5. เสริมสร้างความคิดสร้างสรรค์
               โดยส่วนมากแล้ว แต่ละปัญหาจะมีวิธีแก้หลายวิธี และนักแก้ปัญหาที่ดีจะต้องมีความยืดหยุ่น สามารถมองถึงว่ามีกี่วิธีที่สามารถแก้ปัญหาได้ แต่ละวิธีมีข้อดีข้อเสียอย่างไร และดึงวิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุดมาใช้ จะทำให้เกิดผลสำเร็จสูงสุด

6. ฝึกวินัย
               นอนให้ตรงเวลา เข้าเรียนให้ตรงเวลา ทำการบ้านทุกวัน อย่าผลัดวันประกันพรุ่งโดยคิดว่าอ่านวันหลังก็ได้ ทำทีหลังก็ได้ เพราะว่ามันจะทำให้ติดเป็นนิสัย แล้วจนแล้วจนรอดที่ผลัดไว้ก็ไม่ได้ทำสักที หรือไม่ก็มาทำเอาวันสุดท้ายหลายๆงาน ทำให้งง ความรู้ตีกันวุ่น จนสุดท้ายก็เกิดความคิดว่า รู้อย่างนี้ทำซะตั้งแต่วันแรกแล้ว

 ที่มา : http://iam.hunsa.com/tewmathonline/article/