การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

ในรูป  ax2 + bx + c  เมื่อ  a , b  เป็นจำนวนเต็ม และ  c  =  0    ในกรณีที่  c = 0  พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวจะอยู่ในรูป  ax2+ bx  สามารถใช้สมบัติการแจกแจงแยกตัวประกอบได้

ตัวอย่างที่ 1   จงแยกตัวประกอบของ  x2 + 2x

          วิธีทำ            x2 + 2x       =   (x)(x) + (2)(x)

                                                   =   x(x + 2)

 ตัวอย่างที่ 2   จงแยกตัวประกอบของ  4x2 - 20x

            วิธีทำ           4x2 - 20x      =   (4x)(x) - (4x)(5)

                                                         =   4x(x - 5)

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

 ในรูป  ax2 + bx + c  เมื่อ  a = 1 , b  และ  c  เป็นจำนวนเต็ม และ  c  ≠  0 ในกรณีที่   a = 1   และ  c ≠ 0  พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว   จะอยู่ในรูป  x2  +  bx  +  c   สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามในรูปนี้ได้      โดยอาศัยแนวคิดจากการหาผลคูณของพหุนาม ดังตัวอย่างต่อไปนี้

                  จากการหาผลคูณ   ( x +2 )( x + 3 )  ดังกล่าว  จะได้ขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ    x2 + 5x + 6   โดยทำขั้นตอนย้อนกลับ  ดังนี้

                          x2 + 5x + 6   =  x2 + (2 + 3)x + (2)(3)         [ 2 + 3 = 5  และ  (2) × (3) = 6 ]

                                    =  x2 + (2x + 3x) + (2)(3)

                                                  =  (x2 + 2x) + [3x + (2)(3)]

                                                  =  (x + 2)x + (x + 2)(3)

                                                  =  (x + 2)(x + 3)

    นั่นคือ     x2 + 5x + 6  =  (x + 2)(x + 3)

ที่มา : http://www.thaigoodview.com/node/60036?page=0%2C3

สูตรการหาพื้นที่

สูตรการหาพื้นที่

1 . สี่เหลี่ยมจัตุรัส = ด้าน x ด้าน

2 . สี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้าง x ยาว

3 . สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน = ความยาวของฐาน x ความสูง

4 . สี่เหลี่ยมด้านขนาน = ความยาวของฐาน x ความสูง

5 . สี่เหลี่ยมคางหมู = เศษหนึ่งส่วนสอง x ผลบวกด้านคู่ขนาน x ความสูง

6 . สี่เหลี่ยมรูปว่าว = เศษหนึ่งส่วนสอง x ผลคูณของเส้นทแยงมุม

7 . รูปสามเหลี่ยม = เศษหนึ่งส่วนสอง x ความยาวของฐาน x ความสูง

8 . วงกลม = ลังสองพาย x r ยกกำลังสอง

9 . หน่วยของพื้นที่มีหน่วยเป็นตารางหน่วย เช่น ตารางวา ตารางเมตร ตารางเซนติเมตร

 นอกจากนี้พื้นที่ยังมีหน่วยเป็นอื่น ๆ อีก เช่น ไร่ งาน เอเคอร์

 การเปลี่ยนหน่วยความยาว การเปลี่ยนหน่วยของพื้นที่

1 กิโลเมตร = 1,000 เมตร

3 ฟุต = 1 หลา

1 งาน = 100 ตารางวา

1 ไร่ = 400 ตารางวา

12 นิ้ว = 1 ฟุต

1 ไร่ = 4 งาน

1 เมตร = 100 เซนติเมตร

1,756 หลา = 1 ไมล์

1 เซนติเมตร = 10 มิลลิเมตร

ที่มา : http://www.slideshare.net/guest63819e/ss-3021712

การให้เหตุผลแบบนิรนัย

การให้เหตุผลแบบนิรนัย    

เป็นการนำความรู้พื้นฐานที่อาจเป็นความเชื่อ ข้อตกลง กฏ หรือบทนิยาม  ซึ่งเป็นสิ่งที่รู้มาก่อนและยอมรับว่าเป็นจริง เพื่อหาเหตุผลนำไปสู่ข้อสรุป

  ตัวอย่าง   มนุษย์ทุกคนเป็นสิ่งมีชีวิต และ นายแดงเป็นมนุษย์คนหนึ่ง เพราะฉะนั้น นายแดงจะต้องเป็นสิ่งมีชีวิต

  ตัวอย่าง 2   ปลาโลมาทุกตัวเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม  และสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมทุกตัวมีปอด

        ดังนั้น ปลาโลมาทุกตัวมีปอด

 ตัวอย่าง 3  แมงมุมทุกตัวมี 6 ขา  และสัตว์ที่มี 6 ขา ทุกตัวมีปีก   ดังนั้น แมงมุมทุกตัวมีปีก

 ตัวอย่าง 4  ถ้านายดำถูกล๊อตเตอรี่รางวัลที่หนึ่ง   นายดำจะมีเงินมากมาย  แต่นายดำไม่ถูกล๊อตเตอรี่รางวัลที่หนึ่ง

      ดังนั้น นายดำมีเงินไม่มาก

ถ้าผลสรุปตามมาจากเหตุที่กำหนดให้  เรียกว่า ผลสรุปสมเหตุสมผล   แต่ถ้าผลสรุปไม่ได้มาจากเหตุที่กำหนดให้ เรียกว่า ผลสรุปไม่สมเหตุสมผล

ตัวอย่างผลสรุปสมเหตุสมผล

 เหตุ      ปลาวาฬทุกตัวเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม    และสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมทุกตัวมีปอด

ผล       ดังนั้นปลาวาฬทุกตัวมีปอด

 ข้อสังเกต เหตุเป็นจริง และ ผลเป็นจริง

 เหตุ     แมงมุมทุกตัวมี 6 ขา    และสัตว์ที่มี 6 ขา ทุกตัวมีปีก

ผล        ดังนั้นแมงมุมทุกตัวมีปีก

ข้อสังเกต เหตุเป็นเท็จ และ ผลเป็นเท็จ

 เหตุ      ถ้านายดำถูกล๊อตเตอรี่รางวัลที่หนึ่ง  นายดำจะมีเงินมากมาย แต่นายดำไม่ถูกล๊อตเตอรี่รางวัลที่หนึ่ง

ผล         ดังนั้นนายดำมีเงินไม่มาก

ข้อสังเกต เหตุอาจเป็นจริงและผลอาจเป็นเท็จ

           ผลสรุปสมเหตุสมผลไม่ได้ประกันว่าข้อสรุปจะต้องเป็นจริงเสมอไป วิธีการตรวจสอบว่าผลสรุปสมเหตุสมผลใช้แผนภาพของ เวนน์ - ออยเลอร์  โดยวาดแผนภาพตามเหตุทุกกรณีที่เป็นไปได้แล้วพิจารณาว่าแผนภาพแต่ละกรณีแสดงผลสรุปตามที่กำหนดให้หรือไม่  ถ้าทุกแผนภาพแสดงผลสรุปตามที่กำหนดกล่าวว่า  “ผลสรุปสมเหตุสมผล”  แต่ถ้ามีบางแผนภาพไม่แสดงผลสรุปตามที่กำหนดให้จะกล่าวว่า  “ผลสรุปไม่สมเหตุสมผล”

ที่มา : http://www.thaigoodview.com/node/90249

การให้เหตุผลแบบอุปนัย

             การให้เหตุผลแบบอุปนัย

           การให้เหตุผลแบบอุปนัย  เป็นการให้เหตุผลโดยอาศัยข้อสังเกตหรือผลการทดลองจากหลาย ๆ ตัวอย่าง มาสรุปเป็นข้อตกลง หรือข้อคาดเดาทั่วไป  หรือคำพยากรณ์ ซึ่งจะเห็นว่าการจะนำเอาข้อสังเกต   หรือผลการทดลองจากบางหน่วยมาสนับสนุนให้ได้ข้อตกลง หรือ ข้อความทั่วไปซึ่งกินความถึงทุกหน่วย ย่อมไม่สมเหตุสมผล  เพราะเป็นการอนุมานเกินสิ่งที่กำหนดให้ ซึ่งหมายความว่า  การให้เหตุผลแบบอุปนัยจะต้องมีกฎของความสมเหตุสมผลเฉพาะของตนเอง  นั่นคือ  จะต้องมีข้อสังเกต หรือผลการทดลอง หรือ มีประสบการณ์ที่มากมายพอที่จะปักใจเชื่อได้  แต่ก็ยังไม่สามารถแน่ใจในผลสรุปได้เต็มที่ เหมือนกับการให้เหตุผลแบบนิรนัย  ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่าการให้เหตุผลแบบนิรนัยจะให้ความแน่นอน แต่การให้เหตุผลแบบอุปนัย  จะให้ความน่าจะเป็น   

                       

 ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย  เช่น  เราเคยเห็นว่ามีปลาจำนวนมากที่ออกลูกเป็นไข่เราจึงอนุมานว่า "ปลาทุกชนิดออกลูกเป็นไข่"  ซึ่งกรณีนี้ถือว่าไม่สมเหตุสมผล  ทั้งนี้เพราะ ข้อสังเกต  หรือ  ตัวอย่างที่พบยังไม่มากพอที่จะสรุป  เพราะโดยข้อเท็จจริงแล้วมีปลาบางชนิดที่ออกลูกเป็นตัว  เช่น  ปลาหางนกยูง เป็นต้น

  โดยทั่วไปการให้เหตุผลแบบอุปนัยนี้  มักนิยมใช้ในการศึกษาค้นคว้าคุณสมบัติต่าง ๆ ทางด้านวิทยาศาสตร์  เช่น ข้อสรุปที่ว่า  สารสกัดจากสะเดาสามารถใช้เป็นยากำจัดศัตรูพืชได้ ซึ่งข้อสรุปดังกล่าวมาจากการทำการทดลอง ซ้ำ ๆ กันหลาย ๆ ครั้ง  แล้วได้ผลการทดลองที่ตรงกันหรือในทางคณิตศาสตร์จะใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัย  ในการสร้างสัจพจน์ เช่น  เมื่อเราทดลองลากเส้นตรงสองเส้นให้ตัดกัน  เราก็พบว่าเส้นตรงสองเส้นจะตัดกันเพียงจุด ๆ เดียวเท่านั้น  ไม่ว่าจะทดลองลากกี่ครั้งก็ตาม  เราก็อนุมานว่า    "เส้นตรงสองเส้นตัดกันเพียงจุด ๆ เดียวเท่านั้น"

 ตัวอย่าง   เมื่อเรามองไปที่ห่านกลุ่มหนึ่งพบว่า

ห่านตัวนี้สีขาว

ห่านตัวนั้นก็สีขาว

ห่านตัวโน้นก็สีขาว

ห่านนั้นก็สีขาว

                           ดังนั้น ห่านทุกตัวคงจะต้องมีสีขาว

ข้อสังเกต 

1.ข้อสรุปของการให้เหตุผลแบบอุปนัยอาจจะไม่จริงเสมอไป                                                                                        

2. การสรุปผลของการให้เหตุผลแบบอุปนัยอาจขึ้นอยู่กับประสบการณ์ของผู้สรุป                                                      

3. ข้อสรุปที่ได้จากการให้เหตุผลแบบอุปนัยไม่จำเป็นต้องเหมือนกัน 

 4. ข้อสรุปของการให้เหตุผลแบบอุปนัยอาจ ผิดพลาดได้

ที่มา : http://www.thaigoodview.com/node/18026

บทนิยาม อนุกรมเรขาคณิต

บทนิยาม อนุกรมเรขาคณิต

อนุกรมที่ได้จากลำดับเรขาคณิต  เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต  และ อัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิต
จะเป็นอัตราส่วนร่วมของ อนุกรมเรขาคณิตด้วย

                       กำหนด      a₁,    a₁r,    a₁r²,   …,   a₁r ^n-1  เป็นลำดับเรขาคณิต

                          จะได้       a₁    +  a₁r  +  a₁r²  + … + a₁r^n-1เป็นอนุกรมเรขาคณิต

                ซึ่งมี       a₁  เป็นพจน์แรก  และ  r  เป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิต

จากบทนิยาม  จะได้ว่า ถ้า  a₁,   a₂,   a₃,   …,   a_n   เป็น ลำดับเรขาคณิต ที่มี n  พจน์

จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป

a₁  +  a₂  +  a₃ +  …  +  a_n ว่า  อนุกรมเรขาคณิต

และอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิต จะเป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิตด้วย

ที่มา : http://www.snr.ac.th/elearning/suvadee/content2-2.htm

สมบัติจำนวนนับ

จำนวนนับ ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … จำนวนนับ อาจเรียกว่า “จำนวนเต็มบวก” หรือ “จำนวนธรรมชาติ”

ตัวประกอบ คือ จำนวนเต็มน้อย ๆ ที่ไปหารตัวนั้นลงตัว เช่นเลข 4 เป็นตัวประกอบของเลข 8 เพราะว่าเลข 4 สามารถหารเลข 8 ได้ลงตัว  เลข 10 เป็นตัวประกอบของเลข 100 เพราะว่าเลข 10 สามารถหารเลข 100 ได้ลงตัว

จำนวนคู่ และ จำนวนคี่

    จำนวนคู่ คือ จำนวนนับที่สามารถหารด้วย 2 ได้ลงตัวซึ่งสามารถเขียนแทนจำนวนคู่ได้เป็น 2n เมื่อ n เป็น   จำนวนเต็มใด ๆ ได้แก่ … -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, …

    จำนวนคี่ คือ จำนวนนับที่ไม่ใช่จำนวนคู่ หรือ จำนวนนับที่ไม่สามารถหารด้วย 2 ได้ลงตัวซึ่งสามารถเขียนแทนจำนวนคี่ได้เป็น

- 2n + 1 เมื่อ n = 0, 1, 2, 3, … หรือ - 2n – 1 เมื่อ n = 1, 2, 3, … หรือ จำนวนนับนั่นเอง ได้แก่…, -5, -3, -1, 1, 3, 5, …

  ข้อควรรู้

1. คู่ + คู่ = คู่ เช่น 2 + 4 = 6

2. คี่ + คี่ = คู่ เช่น 3 + 5 = 8

3. คู่ + คี่ = คี่ เช่น 2 + 5 = 7

4. คู่ × คู่ = คู่ เช่น 8 × 10 = 80

5. คี่ × คี่ = คี่ เช่น 3 × 5 = 15

จำนวนเฉพาะ คือ จำนวนนับที่มากกว่า 1 และมีตัวประกอบเพียง 2 ตัว คือ 1 และตัวเอง ได้แก่ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … บางครั้งเรียกจำนวนเฉพาะว่า “ตัวประกอบเฉพาะ”

การหารลงตัว

  - การหารด้วย 2 ลงตัว จำนวนนับที่มีหลักหน่วยเป็นเลข 0, 2, 4, 6 หรือ 8 จะหารด้วย 2 ลงตัว

  - การหารด้วย 3 ลงตัว จำนวนนับใดจะหารด้วย 3 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ ผลบวกของเลขโดดทุกหลักของจำนวนนับนั้นหารด้วย 3 ลงตัว

  EX : 152 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว เพราะ 1 + 5 + 2 = 8 ซึ่ง 8 หารด ้วย 3 ไม่ลงตัว

  EX :   162 หารด้วย 3 ลงตัว เพราะ 1 + 6 + 2 = 9 ซึ่ง 9 หารด้วย 3 ลงตัว

  - การหารด้วย 5 ลงตัว จำนวนนับที่มีหลักหน่วยเป็น 0 หรือ 5 จะหารด้วย 5 ลงตัว

การแยกตัวประกอบ คือ การคูณของตัวประกอบเฉพาะ

  วิธีในการแยกตัวประกอบมี 2 วิธี คือ

1. วิธีการตั้งหารสั้น

Ex : จงแยกตัวประกอบของ 588

= 2 x 2 x 3 x 7 x 7

2. วิธีแยกตัวประกอบทีละ 2 ตัว

Ex : จงแยกตัวประกอบของ 478

= 2 x 239

 ห.ร.ม. (หารร่วมมาก) และ ค.ร.น. (คูณร่วมน้อย)

 ห.ร.ม. คือ ตัวมากที่สุดที่สามารถนำไปหารตัวที่เราสนใจได ้ลงตัวทั้งหมด

 ค.ร.น. คือ ตัวน้อยที่สุดที่ถูกหารด้วยตัวที่เราสนใจได้ลงตัวทั้งหมด

   การหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ทำได้ 3วิธี ได้แก่ การแยกตัวประกอบ การตั้งหารสั้น และการตั้งหารสองแถว

ที่มา : skoolbuz

http://www.siam1.net/article-9776.html